Infektionsmodelle und ihre Simulation
(inklusive CoViD-19-Pandemie)

(Stand: UNDER CONSTRUCTION)

Klassische Modelle (Auswahl) und ihre Entwicklung


Die Ausbreitung einer Krankheit basiert auf ihren biologischen Eigenschaften, auf dem Aufeinandertreffen von Individuen verschiedener Gruppen einer Popu­lation sowie dabei auf einzelnen oder kombinierten Wahrscheinlichkeiten, welche in der Realität ganz unterschiedlichen Einflüssen unterliegen können (z.B. Kontaktdauer, Immunstatus, Kontaktart wie Berührungen oder Körperflüssigkeiten, u.v.m.).

Innerhalb der mathematischen Epi­demio­lo­gie wäre eine Möglichkeit der Mo­del­lie­rung dieses Geschehens, alle Kontakte zwischen den Individuen als Einzelereignisse mit bestimmten Regeln aufzufassen bzw. jedes Individuum einzeln zu betrachten. Eine Möglichkeit zu einer so detaillierten Be­schrei­bung bietet beispielsweise die agentenbasierte Mo­del­lie­rung (ABM), [1, 2].

Eine Alternative dazu ist, Individuen als "gut durchmischte" Gruppen gleicher Eigenschaften und die Wahr­schein­lich­kei­ten sowie die Art des Aufeinandertreffens mit bestimmten Termen und "makroskopischen" Pa­ra­me­tern zu beschreiben. Die Gruppen können auch als Kompartimente bezeichnet werden und sind im vorliegenden Fall Teil­popu­lationen. Zur Mo­del­lie­rung ihres dynamischen Verhaltens können (gewöhnliche) Dif­fe­rential­glei­chun­gen genutzt werden, deren Zustandsvariablen den Gruppen entsprechen und deren zeitliche Lösung der Simulation dieser Modelle entspricht.

Klassischerweise, [3], gibt es zur Be­schrei­bung der Ausbreitung einer Krankheit und damit der zeitlichen Veränderung von Gruppen einer Popu­lation mithilfe von Dif­fe­rential­glei­chun­gen verschiedene In­fek­tions­model­le unterschiedlichen De­tail­grads, die ganz bestimmte realistische Effekte wiedergeben. Im Folgenden werden typische und einfache Vertreter dieser Modelle vorgestellt.

"SI"-Modell

Ein Infektionsmodell, welches den ganz grundlegenden Übergang von gesunden zu erkrankten Individuen beschreibt, ist das SI-Modell. Dabei steht "S" für "susceptible" (engl. etwa für Anfällige, also Ansteckbare, hier aber auch Gesunde) und "I" für "infectious" (engl. für Infektiöse, hier aber auch Infizierte bzw. Erkrankte). Diese beiden Gruppen sind über ihre konstante Gesamtzahl (N = S+I = const.) miteinander verbunden, und es gibt eine unumkehrbare Umwandlung von Gesunden in Kranke (realistischere Effekte werden in den später beschriebenen Modellen hinzukommen).

Dieses Modell besitzt die zwei folgenden Dif­fe­rential­glei­chun­gen (wobei aufgrund der konstanten Gesamtzahl eigentlich nur eine notwendig ist und sich die Lösung der anderen zu jedem Zeitpunkt automatisch ergibt):

\begin{align} {\dot S} &= -\beta SI \\ {\dot I} &= \beta SI \\ &= \beta (N-I)I \end{align}

Die Gesunden besitzen also eine verringernde Umwandlungsrate $-\beta SI$, die von der Interaktion zwischen Gesunden und Erkrankten sowie einem Parameter $\beta$ abhängt. Dieser entspricht der Stärke bzw. der Geschwindigkeit der Veränderung. Die Gleichung für die Erkrankten hat entsprechend diese Rate mit einem positiven Vorzeichen. Die zeitliche Lösung besitzt für den typischen Fall, dass es zum Zeitpunkt 0 nahezu 100% Gesunde gibt, für beide Gruppen einen sigmoiden Verlauf (logistische Funktion), an dessen Anfang sich das exponentielle Wachstum der Erkrankten befindet und an dessen Ende in einer Sättigung alle Gesunden zu Erkrankten geworden sind:

SI-model

"SIS"-Modell

Eine mögliche Erweiterung des SI-Modells besteht darin, dass Erkrankte wieder zu Gesunden werden können, wodurch sich die Dif­fe­rential­glei­chun­gen wiefolgt ändern:

\begin{align} \dot{S} & =-\beta SI+bI\\ & =-\beta SI+\gamma I +\mu(N-S)\\ \dot{I} & =\beta SI-bI\\ & =\beta SI-\gamma I-\mu I \end{align}

Eine Interpretation dieses SIS-Modells besteht darin, dass Erkrankte eine Im­mun­ant­wort erzeugen, wodurch sie wieder zu Gesunden werden, wobei es sich aber nicht um eine dauerhafte Im­mu­ni­täts­bil­dung han­delt und eine erneute Erkrankung möglich ist. Dies geschieht mit der "totalen Ge­sun­dungs­ra­te" $bI$. Eine alternative, wenn auch ungewöhnliche Interpretation wäre die gleichzeitige Existenz einer Ge­sun­dungs­ra­te $\gamma I$, einer Geburtenrate $\mu (N-S)$, welche immer wieder "neue Gesunde" hervorbringt, sowie einer To­des­ra­te unter den Erkrankten $\mu I$, welche somit exakt der Geburtenrate entspricht.

Entsprechend ändert sich der zeitliche Verlauf der beiden Gruppen im Vergleich zum SI-Modell dahingehend, dass sich am Ende ein Gleichgewicht einstellt, welches nicht gegen 100% Erkrankte und 0% Gesunde konvergiert:

SIS-model

"SIR"-Modell

Eine alternative Erweiterung des SI-Modells ist die "Ausbreitung der Krankheit mit absoluter Immunitätsbildung". Dabei wird eine dritte Zustandsvariable R eingeführt, die Individuen umfasst, welche nicht mehr erkranken können (auch hier gibt es eine entsprechende Gesamtzahl N = S+I+R = const.):

\begin{align} \dot{S} & =-\beta SI\\ \dot{I} & =\beta SI-\gamma I\\ \dot{R} & =\gamma I \end{align}

Die Abkürzung R steht im Englischen entweder für "recovered" (Geheilte) oder für "removed" (aus der Gruppe der Erkrankten entfernt). Letzteres kann auf verschiedene Weise geschehen und ist eine Frage der Interpretation, also beispielsweise durch Immunität oder Tod. Im Falle der Immunität handelt es sich bei $\gamma I$ somit um eine Immunisierungsrate. Im Gegensatz zu den bisherigen Modellen wird hier auch klar, weshalb der Begriff "Ansteckbare" für S passender als "Gesunde" ist.

Die zeitliche Lösung des SIR-Modells sieht typischerweise so aus, dass für einen gewissen Zeitraum ein Anstieg der Erkrankten zu beobachten ist, welche sich nach einem Maximum wieder verringern, während gleich­zei­tig die Ansteckbaren gegen 0% und die Geheilten gegen 100% konvergieren:

SIR-model

"SIRS"-Modell

Beim SIRS-Modell gibt es einerseits Geburten- und Todesraten, andererseits wird aber vor allem davon ausgegangen, dass die Immunität nicht dauerhaft ist, sondern dass (vorrübergehend) Geheilte über eine Rate $fR$ und damit mit einem dynamischen zeitlichen Abstand auch wieder zu Ansteckbaren werden können:

\begin{align} \dot{S} & =-\beta SI+\mu(N-S)+fR\\ \dot{I} & =\beta SI-\gamma I-\mu I\\ \dot{R} & =\gamma I-\mu R-fR \end{align}

Durch beide Effekte stellt sich zum einen ein charakteristischer Zeitverlauf aller drei Größen ein, und zum anderen ergibt sich nach einiger Zeit und in Abhängigkeit der Parameter ein Gleichgewicht zwischen den Variablen zwischen 0% und 100% der Ge­samt­po­pu­la­tion:

SIRS-model

"SEIR"-Modell

Ein typischer Effekt bei der Verbreitung von Krankheiten ist, dass ein Individuum bereits erkrankt ist, aber (noch) nicht in der Lage ist, Ansteckbare zu infizieren (die entstehende Latenzzeit kann, muss aber nicht mit der sogenannten Inkubationszeit zusammenfallen). Mithilfe des SEIR-Modells kann dieser Effekt beschrieben werden, indem die Erkrankten in zwei Untergruppen unterschieden werden, nämlich die Infizierten "E" und die Infektiösen "I":

\begin{align} \dot{S} & =-\beta SI+\mu(N-S)\\ \dot{E} & =\beta SI -\varepsilon E -\mu E\\ \dot{I} & =\varepsilon E -\gamma I -\mu I\\ \dot{R} & =\gamma I-\mu R \end{align}

Im Englischen stehen diese beiden Abkürzungen für "exposed" (etwa: der Krankheit ausgesetzt) und "infectious". Zur Wiedergabe des beschriebenen Effekts ist zu beachten, dass die Erkrankung $\beta SI$ von S zu E entsprechend von I abhängt. Nach einiger Zeit werden die Infizierten dann über die Rate $\varepsilon E$ zu Infektiösen, welche wiederum mit $\gamma I$ zu Geheilten werden.

Ähnlich den vorherigen Modellen mit Geburten- und Todesraten stellt sich auch hier mit der Zeit ein Gleichgewicht zwischen den 4 Teil­popu­lationen ein, wobei davor der gewünschte Effekt des zeitlich versetzten Übergangs zwischen diesen Gruppen zu beobachten ist:

SEIR-model

CoViD-19 und die Simulation verschiedener Szenarien


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Referenzen


  1. [1] M. Niazi, A. Hussain: Agent-based computing from multi-agent systems to agent-based Models: a visual survey. In: Scientometrics, 89:479–499, 2011. doi: 10.1007/s11192-011-0468-9
  2. [2] L. Perez, S. Dragicevic: An agent-based approach for modeling dynamics of contagious disease spread. In: Int. J. Health Geogr., 8:50, 2009. doi: 10.1186/1476-072X-8-50
  3. [3] W. O. Kermack, A. G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. In: Proceedings of the Royal Society of London A, 115:700–721, 1927. doi: 10.1098/rspa.1927.0118